ANILLO

En álgebra, un anillo es una estructura algebraica formada por un conjunto (A), y dos operaciones: suma y producto: (A+,*); de modo que (A,+) es un grupo conmutativo conelemento neutro (que designamos 0), y el producto * es asociativo y tiene la propiedad distributiva respecto de la suma. Si el producto es conmutativo hablaremos de un anillo conmutativo y si el anillo posee un elemento neutro para el producto, lo llamaremos anillo con unidad (a la que designaremos 1)

Ejemplo de un anillo

El ejemplo más intuitivo y familiar de un anillo es el conjunto de los números enteros:

... -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, ...

junto con las operaciones binarias de la suma y la multiplicación.Históricamente, el conjunto Z de los enteros con sus dos operaciones sirvió de base para la formulación del concepto de anillo. La razón por la cual estas tres cosas forman un anillo, es porque poseen las siguientes propiedades:

Los números enteros están cerrados bajo la suma: dados dos números enteros a y b, se cumple que a + b es un número entero.

La suma es asociativa: dados tres números enteros a, b y c, se cumple que (a + b) + c = a + (b + c).

Existe un elemento neutro para la suma: para todo número entero a, a + 0 = 0 + a = a.

Existe un elemento simétrico para la suma: para todo número entero a, siempre existe algún número entero b, tal que a + b = 0.

La suma es conmutativa: dados dos números enteros a y b, se cumple que a + b = b + a.

Los números enteros están cerrados bajo la multiplicación: dados dos números enteros a y b, se cumple que a × b es un número entero.

La multiplicación es asociativa: dados tres números enteros a, b y c, se cumple que (a × b) × c = a × (b × c).

Existe un elemento neutro para la multiplicación: para todo número entero a, a × 1 = a.

La multiplicación es distributiva respecto de la suma: a × (b + c) = (a × b) + (a × c).

[editar]Definición formal

Sea A un conjunto no vacío, y sean  y  dos operaciones binarias en A. Se dice que el conjunto  es un anillo si se cumplen las siguientes propiedades:

1.

A es cerrado bajo la operación .

2.

La operación  es asociativa.

3.

La operación  tiene a n como elemento neutro.

4.

Existe un elemento simétrico para .

Estas cuatro condiciones definen un grupo. Una quinta condición define un grupo abeliano:

5.

La operación  es conmutativa.

Para definir un anillo, es necesario agregar tres condiciones más que hablan acerca de la segunda operación binaria:

6.

A es cerrado bajo la operación .

7.

La operación  es asociativa.

8.

La operación  es distributiva respecto de .

Y agregando una novena condición, se define un anillo conmutativo:

9.

La operación  es conmutativa.